13/06/11 4.2 Serie numérica convergencia

SERIES NUMERICAS.

1. Convergencia.

Si {an} es una sucesi´on de numeros reales, se define la serie de termino general an y

se escribe

P1

n=1 an como:

1X

n=1

an = lim (a1 + · · · + an).

Si este l´ımite de la n-´esima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es

convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.

2. Convergencia absoluta.

Se dice que la serie

P

an es absolutamente convergente si la serie

P

|an| es convergente.

Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenaci´on suya tambi

´en lo es y tiene el mismo valor.

Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no

absolutamente convergente.

3. Propiedades.

• El car´acter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un

n´umero finito de sus terminos.

• Para que la serie

P

an converja es necesario que lim an = 0.

• Si las series Pan y Pbn convergen, entonces: Pan + bn y P_an, con _ 2 R,

tambien, teniendose:

X

(an + bn) Xan +Xbn yX_an = _Xan.