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lunes, 6 de junio de 2011

4.1.1 Finita

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como  
donde n es el índice final de la
serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,      i = 1,2,3,\ldots.
Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si    no existe o si tiende a infinito; puede converger si 

Serie finita

xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de
Cauchy de   
Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita


§  Primer ejemplo. Para alguna      


                 por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente    se ha demostrado que   

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo   
Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo, por lo tanto el producto de Cauchy


                               fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica 





viernes, 3 de junio de 2011

13/06/11 4.2 Serie numérica convergencia

SERIES NUMERICAS.

1. Convergencia.
Si {an} es una sucesi´on de numeros reales, se define la serie de termino general an y
se escribe
P1
n=1 an como:
1X
n=1
an = lim (a1 + · · · + an).
Si este l´ımite de la n-´esima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es
convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.

2. Convergencia absoluta.
Se dice que la serie
P
an es absolutamente convergente si la serie
P
|an| es convergente.
Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenaci´on suya tambi
´en lo es y tiene el mismo valor.
Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no
absolutamente convergente.
3. Propiedades.
• El car´acter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un
n´umero finito de sus terminos.
• Para que la serie
P
an converja es necesario que lim an = 0.
• Si las series Pan y Pbn convergen, entonces: Pan + bn y P_an, con _ 2 R,
tambien, teniendose:
X
(an + bn) Xan +Xbn yX_an = _Xan.

miércoles, 1 de junio de 2011

4.3 Serie de potencias

Serie de potencias
Es una serie de ecuaciones que tiene la forma
a0 + a1 (x-a) + a2  (a-x)^2 + ……… an (x-a)^n + ……….
A esto se le llama serie de potencias, aquí las constantes a0, a1…….., an……., se llaman también los coeficientes de la serie. Esta serie está dispuesta según las potencias crecientes del binomio x-a.
Cuando a=0, tenemos una serie de potencias de x que es un caso particular de la serie.
Para determinar el dominio de convergencia de la serie sustituimos en esta ecuación la variable
x – a =X
Después de la sustitución la ecuación toma el siguiente aspecto:
a0 + a1X + a2X^2 +………+ anX^n +…….,
Es decir hemos obtenido la serie de potencias de X. 

lunes, 30 de mayo de 2011

4.4 Radio de convergencia


En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, viene dado por la expresión:
R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}
DEFINICION


Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0r = 0. Si lo hace para cualquier valor de xr = \infty \,\!













EJEMPLOS



Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.


Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+....
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho
\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}.
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty.


Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene la forma:
\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-....
Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:
\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...
Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es r=\sqrt{2}/2. Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie


Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+....
y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.



viernes, 27 de mayo de 2011

4.5 Serie de Taylor

SERIE DE TAYLOR


La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.



Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.



Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
o expresado de otra forma


Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a


Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines práicos  no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.



Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.


El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.


La ecuación para el término residual se puede expresar como:





Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso elevado a la (n+1)-ésima potencia.



Teorema del binomio


Funciones trigonométricas:


  • Seno
  • Coseno
  • Tangente
  • Secante
  • Arco seno
  • Arco tangente


Funciones hiperbólicas:


  • Senh
  • Cosh
  • Tanh
  • Senh-1
  • Tanh-1


Función W de Lambert

Error de Propagación:


Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre ũ en el valor de la función.


Si es cercana a ũ f(u) es continua y diferenciable:
Función e
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la funcióne.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacion de la serie y para darnos una idea de como se comporta la funcion.
Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la funcion se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie


Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas preciso.

Todo esto fue para ver como es la serie de la funcion e, ahora para conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por ejemplo



Función Logaritmo natural
para todo |x| < 1 y cualquier a complejo
Función Seno
En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el mismo.
Primero se deriva varias veces la funcion y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada:


Función Coseno
Para el coseno el procedimiento es el mismo.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.


Despues se va llenando la serie de Taylor para despues hacer una ecuacion general:
Por ultimo se desarrolla la ecuacion general para cualquier caso:


INFORMACION RELACIONADA Y EJEMPLOS AQUI

miércoles, 25 de mayo de 2011

4.6 REPRESENTACION DE FUNCIONES POR SERIE DE TAYLOR

SERIE DE TAYLOR (FUNCIONES)


En matematicas una serie de Taylor de una funcion f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en o, con polinomios de grado 1,3,5,7,9,11,13.


La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).


Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.








Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.



lunes, 23 de mayo de 2011

4.7 Calculo de Integrales Expresadas como serie de Taylor

ARTICULO TRATADO SOBRE EL CALCULO Y EL TEOREMA DE TAYLOR.






El teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671.


Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.


Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si n≥ 0 es un entero y una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto(a,x) entonces se cumple con lo siguiente:
















O en forma mas reducida










Donde k denota el factorial de k , y Rn(f)es el resto, término que depende de x y es pequeño si x está próximo al punto a . Existen dos expresiones para R que se mencionan a continuación:







donde a y x , pertenecen a los números reales, n a los enteros y E es un número real entre a y x :2