4.1.1 Finita

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n como  

donde n es el índice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,      .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si    no existe o si tiende a infinito; puede converger si 

Serie finita

x_i = 0 para todo i > n y y_i = 0 para todo i > m. En este caso el producto de

Cauchy de   

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita

§  Primer ejemplo. Para alguna      

                 por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente    se ha demostrado que   

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo   

Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo, por lo tanto el producto de Cauchy

                               fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica 

13/06/11 4.2 Serie numérica convergencia

SERIES NUMERICAS.

1. Convergencia.

Si {an} es una sucesi´on de numeros reales, se define la serie de termino general an y

se escribe

P1

n=1 an como:

1X

n=1

an = lim (a1 + · · · + an).

Si este l´ımite de la n-´esima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es

convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.

2. Convergencia absoluta.

Se dice que la serie

P

an es absolutamente convergente si la serie

P

|an| es convergente.

Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenaci´on suya tambi

´en lo es y tiene el mismo valor.

Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no

absolutamente convergente.

3. Propiedades.

• El car´acter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un

n´umero finito de sus terminos.

• Para que la serie

P

an converja es necesario que lim an = 0.

• Si las series Pan y Pbn convergen, entonces: Pan + bn y P_an, con _ 2 R,

tambien, teniendose:

X

(an + bn) Xan +Xbn yX_an = _Xan.

4.3 Serie de potencias

Serie de potencias

Es una serie de ecuaciones que tiene la forma

a0 + a1 (x-a) + a2  (a-x)^2 + ……… an (x-a)^n + ……….

A esto se le llama serie de potencias, aquí las constantes a0, a1…….., an……., se llaman también los coeficientes de la serie. Esta serie está dispuesta según las potencias crecientes del binomio x-a.

Cuando a=0, tenemos una serie de potencias de x que es un caso particular de la serie.

Para determinar el dominio de convergencia de la serie sustituimos en esta ecuación la variable

x – a =X

Después de la sustitución la ecuación toma el siguiente aspecto:

a0 + a1X + a2X^2 +………+ anX^n +…….,

Es decir hemos obtenido la serie de potencias de X.